Über die Erhaltung der Kraft

eine physikalische Abhandlung, vorgetragen in der Sitzung der physikalischen Gesellschaft zu Berlin am 23. Jiili 1847 Vorliegende Abhandlung musste ihrem Hauptinhalte nacli liaiiptsachlicli ftir Physiker bestimmt werden, icli liabe es daher vorgezogen, die Grimdlagen derselben unabhangig von einer philosophischen Begriindung rein in der Form einer physikali- schen Voraussetzung hinzustellen, deren Folgeriingen zu ent- wickeln, und dieselben in den verschiedenen Zweigen der Physik mit den erfahrungsmassigen Gesetzen der Naturerscheinungen zii vergleichen. Die Herleitung der aufgestellten Satze kann von zv/ei Ansgangspunkten angegriffen werden, entweder von dem Satze, dass es nicht moglich sein konne, durch die Wirkungen irgend einer Combination von Naturkorpern auf einander in das Unbegrenzte Arbeitskraft zu gewinnen, oder von der Annahme, dass alle Wirkungen in der Natur zuruckzufiihren seien auf an- ziehende und abstossende Krafte, deren Intensitat nur von der Entfernung der auf einander wirkenden Punkte abhangt. Dass beide Satze identisch sind, ist im Anfang der Abhandlung seibst gezeigt worden. Indessen haben dieselben noch eine wesent- lichere Bedeutung fitr den letzten und [2] eigentlichen Zweck der physikalischen Naturwissenschaften uberhaupt, welchen ich in dieser abgesonderten Einleitung darzulegen versuchen werde.

Aufgabe der genannten Wissenschaften ist es einmal, die Gesetze zu suchen, durch welche die einzelnen Vorglinge in der Natur auf allgemeine Kegeln zuruckgeleitet, und aus den letz- teren wieder bestimmt werden konnen. Diese Regeln, z. B. das Gesetz der Brecliiuig oder Ziirltckwerfiing des Liclits, das von Mariotte imd Gay Lussac fiir das Vohim der GasarteUj siiid ofFenbar iiiclits als allgemeine Gattimgsbegriffe, dureli welclie sammtliohe daliin geliorige Ersclieiniiiigen iimfasst werden. Die Aufsucliiiiig derselben ist das Geschaft des experimentellen Tlieils imserer Wissenscliaften. Der theoretische Theil derselben suclit dagegeiij die unbekannteii Ursaclien der Vorgange aiis iliren siclitbaren Wirkiingen zii linden; er sucht dieselben zu begreifen nacli dem Gesetze der Causalitat^). Wir werden genotliigt imd bercclitigt zu diesem Gescbafte durch den Grimdsatz, dass jede Verandening in der Natur eine zureieliende Ursache haben miisse. Die naclisten Ursaclien, welche wir den Natiirerscbei- nungen luiterlegen, konnen selbst xinveranderlioh sein oder ver- anderlicli; im letzteren Falle notliigt nns derselbe Grimdsatz nacli anderen IJrsacben wiedernm dieser Verandening zu suchen, und so fort, bis wir zuletzt zu letzten Ursaclien gekommen sind, welclie nach. einom unveranderlichen Gesetz wirken, welche folg- licli zu jeder Zeit unter denselben ausseren Verlialtnissen die- seibe Wirkung liervorbringen. Das endliche Ziel der tlieoreti- scben Naturwissenschaften ist also, die letzten unveranderlichen Ursachen der Vorgange in der Natiir aufzufinden.

Ob nun wirk- lich alle Vorgange auf solche [3] zurtickzufithren seien, ob also die Natur vollstandig begreifiich sein mtisse, oder ob es Ver- anderungen in ihr gebe, die sich dem Gesetze einer nothwendigen Causalitat entziehen, die also in das Gebiet einer Spontaneitat, Freiheit, fallen, ist hier nicht der Ort zu entscheiden; jedenfalls ist es klar, dass die Wissenschaft^ deren Zweck es ist, die Natur zu begreifen, von der Voraussetzung ihrer Begreiflichkeit aus- gehen mtisse, und dieser Voraussetzung gemass schliessen und untersuchen, bis sie vielleicht durch unwiderlegliche Facta zur Anerkenntniss ihrer Schranken genotliigt sein sollte.

Die Wisscnschaft betrachtet die Gegenstande der Aussenwelt nach zweieiiei Abstractionen : einmal ihrem blossen Dasein nach, abgesehen von ihren Wirkuugen auf andere Gegenstande oder unsere Sinnesorgane ; als solche bezeiclinet sie dieselben als Materie. Das Dasein der Materie an sich ist uns also ein ruhiges, wirkungsloses ; wir unterscheiden an ihr die raumliche Vei'theilung und 'die Quantitat (Masse), welche als ewig unver- anderlich gesetzt wird. Qualitative Unterschiede dltrfen wir der Materie an sich nicht zuschreiben, denn wenn wir von verschie- denartigen Materien sprechen, so setzen wir ihre Verschieden- heit immer nur in die Verschiedenheit ihrer Wirkungen d. h. in

ihre Krafte. Die Materie an sicli kann deshaib au(3li keine andere Veranderuiig eingehen, als eine raumliche, d. h. Bewegimg. Die Gegenstande der Natur sind aber uiclit wirkimgslos, ja wir kommen Itberhaupt zu ihrer Kenntniss nur diirch die Wir- kuDgen, welche von ilinen aus auf nnsere Sinnesorgane erfolgen, indem wir aus diesen Wirkiingen auf ein Wirkendes schliesseii. Wenn wir also den Begriff der Materie in der Wirklichkeit an- wenden wollen, so diirfen wir dies nur, indem wir durch eine zweite Abstraction demselben wiederum [4] hinzuftigen, wo von wir vorher abstraliiren woliten, namlicli das Vermogen Wir- kungen auszuHben, d. h. indem wir derselben Krafte zuertheilen. Es ist einleuchtend, dass die Begriffe von Materie und Kraft in der Anwendung auf die Natur nie getrennt werden diirfen. Eine reine Materie ware fiir die Hbrige Natur gleichgtiltig, weil sie nie eine Veranderung in dieser oder in unseren Sinnesorganen bedingen konnte ; eine reine Kraft ware etwas^ was dasein sollte und dock wieder nicbt dasein, weil wir das Daseiende Materie nennen, Ebenso felilerhaft ist es, die Materie ftlr etwas Wirk- liches, die Kraft fiir einen blosseu Begriff erklaren zu wollen, dem nichts Wirkliches entspracke; beides sind vielmehr Ab- stractionen von dem Wirklichen, in ganz gleicker Art gebildet ; wir konnen ja die Materie eben nur durck ihre Krafte, nie an sick selbst, walirnehmen.

Wir haben oben gesehen, dass die Naturerscheinungen auf unverauderliche letzte Ursacheu zurttckgefuhrt werden sollen ; diese Forderung gestaltet sick nun so, dass als letzte Ursacken der Zeit nack unveranderlicke Krafte gefunden werden sollen. Materien mit unveranderlicken Kraften (unvertilgbaren Quaii- taten) kaben wir in der Wissensckaft (ckemiscke) Elemente ge- naunt. Denken wir uns aber das Weltall zerlegt in Elemente mit unveranderlicken Qualitaten, so sind die einzigen nock moglicken Aenderungen in einem solcken System raumlicke d. h. Bewe- gungen, und die ausseren Verkaltnisse, durck welcke die Wir- kung der Krafte modificirt wird, konnen nur nock raumlicke sein, also die Krafte nur Bewegungskrafte, abhangig in ikrer Wirkung nur von den raumlicken Verkaltnissen.

Also naker bestimmt: Die Naturersckeinungen sollen zurllck- gefiikrt werden auf Bewegungen von Materien mit [5] unver- anderlicken Bewegungskraften, welcke nur von den raumlicken Verkaltnissen abhangig sind. Bewegungist Aenderung der raumlicken Verkaltnisse. Raum- licke Verhaltnisse sind nur mogiich gegen abgegrenzte Raum- gTossen, iiiclat gegen den untersohiedslosen leeren Rauiii. Beweguiig kann desliaib in der Erfahrnng nur vorkommen ais Aendening der ranmliclien Verhaltnisse wenigstens zweier mate- rieller Korper gegen einander ; Bewegimgskraft, als ihreUrsaclie, also aucli immer nur ersclilossen werden fttr das Verhaltniss mindestens zweier Korper .gegen einander, sie ist also zti defi- niren als das Bestreben zweier Massen, ilire gegenseitige Lage zu wechseln. Die Kraft aber, welclie zwei ganze Massen gegen einander ausitben, muss aufgelost werden in die Krafte aller ilirer Theile gegen einander ; die Meclianik geht deshaib zuriick auf die Krafte der materieilen Punkte, d. li. der Punkte des mit Materie gefiillten Raums^) . Punkte liaben aber keine raumliciic Beziehung gegen einander als ihre Entfernung, denn die Ricli- tung ihrer Verbindungslinie kann nur im Verlialtniss gegen min- destens nocli zwei andere Punkte bestimmt werden. Eine Be- wegungskraft, welclie sie gegen einander austiben, kann deshaib aucli nur Ursache zur Aenderung ihrer Entfernung sein, d. ii. eine anziehende oder abstossende. Dies folgt aucli sogleicli ans dem Satz vom zureichenden Grunde, Die Krafte, welclie zwei Massen auf einander austiben, mtissen notliwendig ilirer Grosse imd Riclitung nach bestimmt sein, sobald die Lage der Massen vollstandig gegeben ist, Durcb. zwei Punkte ist aber nur eine einzige Riclitung vollstandig gegeben, namlicli die ilirer Ver- bindungslinie; folglich mtissen die Krafte, welclie sie gegen ein- ander ausiiben, nach dieser Linie gerichtet sein, und ilire Inten- sitat kann nur von der Entfernung abhangen.

[6] Es bestimmt sicli also endlich die Aufgabe der phj^sika- lischen Naturwissenschaften dahin , die Naturerscheinungen zu- ritckzufiihren auf unveranderliche, anziehende und abstossende Krafte, deren Intensitat von der Entfernung abhangt. Die Los- barkeit dieser Aufgabe ist zugleich die Bedingung der voilstan- digen Begreiflichkeit der Natur. Die rechnende Mechanik hat bis jetzt diese Beschrankung fttr den Begriff der Bewegimgskraft nicht angenommen, einmal weil sie sich ilber den Ursprung ihrer Grundsatze nicht klar war, und dann, weil es ihr darauf an- kommt, auch den Erfolg zusammengesetzter Bewegungskrafte berechnen zu konnen in soichen Fallen, wo die Auflosung der- selben in einfache noch nicht gelungen ist. Doch gilt ein grosser Theil ihrer allgemeinen Principien der Bewegung zusammenge- setzter Systeme von Massen nur fttr den Fall, dass dieselben durch unveranderliche anziehende oder abstossende Krafte auf einander wirken ; namlicli das Princip der virtuellen Geschwindig-

keiten, das von der Erhaltung der Bewegung des Scliwerpiinkts, von der Erhaltung der Hauptrotationsebene und des Moments der Eotation freier Systeme, das von der Erhaltung der leben- digen Kraft. Fiir irdische Verhaltnisse fiuden von diesen Prin- cipien hauptsachlich nur das erste und letzte Anwendung^ well sich die anderen nur auf vollkommen freie Systeme beziehen, das erste ist wieder, wie wir zeigen werden^ ein specieller Fall des letzteren, welches deshalb als die allgemeinste und wichtigste Folgerung der gemachten Herleitung erscheint.

Die theoretische Naturwissenschaft wird daher, wenn sie nicht auf halbem Wege des Begreifens stehen bleiben will, ilire An- sichten mit der aufgestellten Forderung tiber die Natur der ein- fachen Krafte und deren Folgerungen in [7] Einklang setzen mlissen. Ihr Geschaft wird vollendet sein, wenn einmal die Zuritckleitung der Erscheinungen auf einfache Krafte vollendet ist, und zugleich nacligewiesen werden kann, dass die gegebene die einzig mogliche Zuritckleitung sei, welche die Erscheinungen zulassen. Dann ware dieselbe als die nothwendige BegrijBfsform der Naturauffassung erwiesen, es wiirde derselben alsdann also audi objective Wahrheit zuzuschreiben sein.

Wir gehen aus von der Annahme, dass es unmogiich sei, durch irgend eine Combination von Naturkorpern bewegende Kraft fortdauernd aus nichts zu erschaffen. Aus diesem Satze haben sclion Carnot und Olapeyron^) eine Reihe tlieils be- kannter, theils noch nicht exp crimen tell nachgewiesener Gesetze tiber die specifische und latente Warme der verschiedensten Naturkorper theoretisch hergeleitet. Zweck der vorliegenden Abhandlung ist es, ganz in derselben Weise das g;enannte Prin- cip in alien Zweigen der Physik durchzuftihren, theils urn die Anwendbarkeit desselben nachzuweisen in alien denjenigen Fallen, wo die Gesetze der Erscheinungen schon hinreichend erforscht sind, theils urn mit seiner Hitlfe, untersttitzt durch die vielfaltige Analogic der bekannteren Falle auf die Gesetze der bisher nicht [8] vollstandig untersuchten weiterzuschliessen, und dadurch dem Experiment ein en Leitfaden an die Hand zu geben.

Das erwahiite Princip kann folgendermassen dargestellt wer- deii: Denkeii wir nns ein System von Natiirkorpern ^ welche in gewissen raumlichen Verhaltnissen zii einander stehen, iind imter dem Einlliiss ilirer gegenseitigen Krafte in Bewegung gerathen, bis sie in bestimmte andere Lagen gekommen sind : so konnen wir ilire gewonnenen Gescliwindigkeiten als eine gewisse mecha™ iiisclie Arbeit betrachten, und in solclie venvandeln. Wollen wir nun dieseiben Krafte zum zweiten Male v/irksam werden iassen, urn dieselbe Arbeit noch einmal zn gewinnen, so milssen wir die Korper auf irgend eine Yf eise in die anfangiiclieu Be- dingmigen diirch Anwendimg anderer nns zii Gebote stehender Krafte zurtlckversetzen; Y/ir werden dazu also eine gewisse Arbeitsgrosse der letzteren wieder verbrauclien. In diesemFalie fordert nun nnser Princip, dass die Arbeitsgrosse, weiclie ge™ wonnen wird , wenn die Korper des Systems aus der Anfangs- lage in die zweite, und verloren Avird, vv^enu sie aus der zweiteu m die erste ilbergelien, stets dieselbe sei, welclies audi die Art, der Weg oder die Geschwindigkeit dieses Uebergangs sein mogen. Denn ware dieselbe auf irgend einem Wege grosser als auf dem andern, so wiirden wir den ersteren zur Gewinnung der Arbeit benutzen konnen, den zweiten zur Zurilckflilirung, zu welcher wir einen Ttieil der so eben gewonnenen Arbeit an™ wenden konnten, und wiirden so ins Unbestimmte mechanisohe Kraft gewinnen, mi perpetuum viohile gebaut liaben, welclies liiclit nur sich selbst in Bewegung erbielte , sondern audi nocti im Stande ware, nacli aussen Kraft abzugeben.

Snellen wir nacb dem matliematischen Ausdruck dieses [9] Princips , so linden wir ibn in dem bekannten Gesetz von tier Erlialtung der lebendigen Kraft. Die Arbeitsgrosse, welche ge wonnen und verbraucht wird , kann bekanntlicli ausgedriickt werden als ein auf eine bestimmte Hoke h geliobenes Gewicht m ; sie ist dann m(/h, wo (/ die Intensitat der Scbwerkraft. Um senk- reciit frei in die Hohe h emporzusteigen braudit der Korper 7?i die Gescliwindigkeit v:=y2gh] und eiiangt dieselbe wieder beim Herabfallen. Es ist also \mv^-==^mgh] folglicli kann die Halfte des Products mv''^, welclies in der Mechanik bekanntlicli >)die Quantitat der lebendigen Kraft des Korpers m« genannt wird, audi an die Stelle des Maasses der Arbeitsgrosse gesetzt werden, Der besseren Uebereinstimmung wegen mit der jetzt gebraucliliclien Art, die Intensitat der Krafte zu messen, scblage icli vor, gleicli die Grosse -\mv" als Quantitat der lebendigen Kraft zu bezeiclmen, wodurcli sie identiscli wird mit dem. Maasse

der Arbeitsgrosse. Fiir die bislierige Auwendung des Begriffs der lebendigen Kraft der nur auf das besprochene Princip be~ schrankt war, ist diese Abanderung obne Bedeutung, walirend sie uns im Folgenden wesentiiche Vortlieile gewaliren Avird. Das Princip von der Erhaltung der lebendigen Kraft sagt nun bekanntlicli aus: Wenn sicli eine beliebige Zalil bewegliclier Massenpunkte nur unter dem Einfluss solclier Krafte bewegt^ welche sie selbst gegen einander ausiiben, oder welclie gegen feste Centren gericiitet sind : so ist die Summe der lebendigen Krafte aller zusammen genommen zu alien Zeitpunkten dieselbe, in welclien aile Punkte dieselben relativen La gen gegen einander und gegen die etwa vorhandenen festen Centren einnelimen, wie auch ihre Balinen und Gescliwindigkeiten in der ZNvisclienzeit gewesen sein mogen. Denken wir die lebendigen [10] Krafte angewendet, um die Theile des Systems^ oder ihnen aquivalente Massen auf gewisse Hohen zu lieben, so folgt aus dem, was wir eben gezeigt liaben , dass auch die so dargestellten Arbeits- grossen unter den genannten Bedingungen gieich sein milssen. Dieses Princip gilt aber nicht ftir alle mdgliclien Arten von Kraften ; es wird in der Meclianik geAvoimlicli angekntipft an das Princip der virtuellen Gescliwindigkeiten, und dies kann nur fltr materielle Punkte mit anziehenden und abstossenden Kraften bewiesen werden. Wir wollen hier zunaclist zeigen, dass das Princip von der Erhaltung der lebendigen Krafte ganz allein da gilt, wo die wirkenden Krafte sich auflosen lassen in Krafte materieller Punkte , welche in der Richtung der Verbindungs- linie wirken , und deren Intensitat nur von der Entfernung ab- liangt ; in der Mechanik sind solche Krafte gewohnlich Central- krafte genannt worden.

Es folgt daraus wiederum auch rtick- warts, dass bei alien Wirkungen von Naturkorpern aufeinander, wo das besprochene Princip ganz allgemein auch auf alle kleinsten Theilchen dieser Korper angewendet werden kann, als einfachste Grundkriifte solche Centralkrafte anzunehmen seien. Betrachten wir zunachst einen materiellen Piinkt von der Masse m, der sich bewegt unter dem Einfluss der Krafte von mehreren zu einem festen System A verbundenen Korpern, so zeigt uns die Mechanik die Mittel an, ftir jeden einzelnen Zeitpunkt die Lage und Geschwindigkeit dieses Punktes bestimmen zu konnen. Wir wtirden also die Zeit t als die Urvariable betrach- ten, und von ihr abhangen lassen die Ordinaten x, y , z von 7n in Beziehung auf ein gegen das System A festbestimmtes Coor- dinatensystem, seine Tangentialgeschwindigkeit ^, die den Axen

iind endlicb die Componenten der wirkenden Krafte. du ^^ ch ^^ dvj IJnser Princip fordert nun, dass \mq^^ also audi q^^ stets das- selbe sei, wenn m dieselbe Lage gegen A hat, also nicbt alleiii als Function der Urvariablen ?f, sondern auch als blosse Function der Coordinaten x^ y, z bingestellt werden konne, d. h, dass Wird statt u bier -7-, statt du aber - — - aus den oben hinere™ a^ m ^ gestellten Wertben gesetzt, eben so fllr v und to die analogen

Da die Gieichungen 1 und 2 filr jedes beliebige <:/:?;, dy^ dz zusammen stattfinden mlissen, so folgt, dass aucb einzeln Ist aber q'^ blosse Function von x, y, z, so folgt bieraus, dass aucb X, Yund Z, d. b. Riclitung und Grosse der wirkenden Kraft nur Functionen der Lage von 7?i gegen A seien, Denken wir uns nun aucb statt des Systems A einen einzel- nen materiellen Punkt a, so folgt aus dem oben [12] bewiesenen. dass die Eicbtung und Grosse der Kraft, welche von a auf m einwirkt, nur bestimmt werde durcli die relative Lage von m gegen a. Da nun die Lage von m durcb seine Beziebung zu dem einzelnen Punkt a nur nocb der Entfernung Tna nacli bestimmt ist, so wtirde in diesem Falle das Gesetz dahin zu modificiren sein, dass Riclitung und Grosse der Kraft Functionen dieser Entfernung r sein mussen. Denken wir uns die Coordinaten auf irgend ein beliebiges Axensystem bezogen, dessen Anfangspunkt in a liegt, so muss hiernacb

d. h. die Resultaiite muss nach dem Anfangspunkte der Coordi- naten, nach dem wirkenden Punkte a, gerichtet sehi. Es mtlssen folglich in Systemen, welclie ganz allgemein dem Gesetz von der Erhaltung der lebendigen Kraft Folge leisten, die einfachen Krafte der materiellen Punkte Centralkrafte seiu» Wir wollen dem besprochenen Gesetze flir die Falle, wo Centralkrafte wirken, nun noch einen allgemeineren Ausdruck geben. 1st (p die Intensitat der Kraft, welche in der Richtung von r wirktj wenn sie anzieht, als positiv, wenn sie abstosst, als negativ gesetzt, also

\md[q^) = — cpdr, Oder wenn Q und M, q und ?^ zusammengehorige Tangential- geschwindigkeiten und Entfernungen vorstellen, liiikeii Seite den Unterschied der lebendigeii Krafte, welche m bei zwei verscMedeneii Entferniingen liat. Urn die Bedeiitiing der Grosse I cpdr zii finden, denken wir ims die Inteusitaten von (p, welche zu verschiedenen Ptinkten der Verbindiiiigslinie von ra imd a gehoren, diircli rechtwinklig aufgesetzte Ordinaten dar~ gestellt, so wiirde die genannte Grosse den Flaclieninlialt be- zeiclinen, den die Curve [14] zwisclien den zu R und r geborigen Ordinaten init der Abscissenaxe einschliesst. Wie man sicli nun diesen Fliichenraum als die Summe alier der unendlich vielen in ilim liegenden Abscissen vorstellen kann, so ist jene Grosse der Inbegriff aller Kraftintensitaten, welclie in den zwisclien R und /' liegenden Entfernungen wirken. Nennen wir nun die Krafte^ welche den Punkt m zu bewegen streben, so lange sie eben noclx nicht Bewegung bewirkt haben, Spannkrafte, im Gegensatz zu dem, was die Mechanik 1 e b e n d i g e K r a f t nennt^ so wiirden

zwisclien den Entfernungen R und r bezeichnen konnen, und das obige Gesetz wiirde auszusprechen sein: Die Zunalime der iebendigen Kraft eines Massenpunktes bei seiner BeweguDg unter dem Einiluss einer Centralkraft ist gleicli der Summe der zu der betreffenden Aenderung seiner Entfernung geliorigen Spann- krafte. Denken wir uns zwei Punkte unter der Wirkung einer an- ziehenden Kraft stehend, in einer bestimmten Entfernung R^ so werden sie durch Wirkung der Kraft selbst nach den kleiueren Entfernungen r hingetrieben, und dabei Avird ihre Geschwindig- keit, ihre iebendige Kraft, zunehmen; sollen sie aber nach gros- seren Entfernungen r gelangen, so muss ihre iebendige Kraft abnehmen, und endiich ganz verbrauclit werden ; wir konnen deshalb bei anziehenden Kraften die Summe der Spannkrafte

die noch vorhandenen, die aber zwischen r = jR und r = oo als die verbrauchten bezeichnen ; die ersteren konnen unmitteibar, die letzteren erst [15] nach einem aquivalenten Verlust an leben- diger Kraft in Wirksamkeit treten. Umgekehrt ist es bei ab- stossenden Kraften. Belinden sich die Punkte in der Entfernung /?, so werden sie bei ihrer Entfernung Iebendige Kraft gewinnen, imd als die vorhandenen Spaiinkrafte werden die zii bezeicbnen sein zwischen r = R imd r = oo, als die verloreiienj die zwi- schen r = imd r = R.

TJm nun unser Gesetz ganz allgemein durclizufltliren, denken wir nns eine beliebige Anzahl materieller Punkte von den Massen m^^ m^^ m^^^ u. s. w. allgemein bezeicliuet mit m^, deren Coordi- naten x^, ya-, ^a\ ^^^ ^^^ Axen parallelen Componenten der daraiif wirkenden Krafte seien Xa, l^o? ^aj ^^^ nach den Axen zerlegten Geschwindigkeiten?^^, v^^ %o^^ die Tangentialgeschwin- pigkeiten q^\ die Entfermmg zwisclien m^ imd m\^ sei ^'n^, die Centralkraft zwisclien beiden cp^^. Es ist nun fiir einen einzelnen Punkt /??„ analog der Gleicliung 1 .

WO das Summationszeicben 2"" sich auf alle die Glieder beziekt, welche entstehen, wenn man nacb einander fiir den Index a alle einzelnen Indices 1? 2, 3 etc. mit Ausnabme von n setzt. Multipliciren wir die erste Gleicbung mit dx.y^ = u^dt, die zweite mit dy^^ == v^dt, die dritte mit dz^^ = to\^dtj und denken wir uns die drei dann entstekenden Gleicbungen [16] fiir alle einzelnen Punkte m^ aufgestellt, wae es liier fiir 971^^ gesclielien ist, und alle addirt, so erhalten Avir

Die Glieder der Reike links werden erhalten, wenn man erst statt a alle einzelnen Indices 1, 2, 3 u. s. w. setzt und bei jedem einzelnen audi fiir I) alle grosseren und alle kleineren Werthe, als a schoii hat. Die Summen zerfallen also in zwei Tiieile, in deren eiuem a stets grosser ist als B, im andern stets kleiner. und es ist klar, dass fttr jedes Glied des einen Tlieils Maclien wir diese Ziisammenzieliung in den Summen, addiren sie alie drei imd setzen

wenn i^ und Q sowie r imd g' zusammengeh5rige Werthe be~ zeicbnen. Wir kaben liier links wieder die Summe der verbrauchten Spannkrafte, rechts die der lebendigen Krafte des ganzen Systems, und wir konnen das Gesetz jetzt so aussprechen: In alien Fallen der Bewegung freier materieller Punkte unter dem Einfluss iiirer anziebenden oder abstossenden Krafte, deren In- tensitaten nur von der Entfernung abhangig sind, ist der Verlust an Quantitat der Spannkraft stets gleich dem Gewinn an leben- diger Kraft, und der Gewinn der ersteren dem Verlust der letz- teren, Es ist also stets die Summe der vorbandenen lebendigen und Spannkrafte constant. In dieser allge- meinsten Form konnen wir unser Gesetz als das Frincip von der Erhaltung der Kraft bezeicbnen.

In der gegebenen Ableitung des Gesetzes andert sick nichts, wenn ein Theil der Punkte, welche wir mit dem durcblaufenden Bucbstaben t) bezeichnen wollen, fest gedacht wird^ so dass q^^ constant = ; es ist dann die Form des Gesetzes: Es bleibt noch tibrig zu bemerken, in welchem Verhaltniss das Princip von der Erhaltung der Kraft zu dem allgemeinsten Gesetze der Statik, dem sogenannten Princip der virtuellen Ge- schwindigkeiten steht. Dieses folgt iiamlicli immittelbar aus un- seren Gleichimgen 3 und 5. Soil Gleichgewiclit stattfinden bei einer bestimmten Lagerung der Punkte m^^ d. h. soil fur den Fall, dass diese Punkte [18] ruhen, also ^^^ = 0, dieser Zu- stand der Ruhe auck bestehen bleiben, also alle dq^-=()^ so folgt axis der Gleichung 3

oder Avenn aucli Krafte von Punkten m^ ausserhalb des Systems einwirken, aus Gleichung 5 In diesen Gleichungen sind unter dr Aenderungen der Ent- fernung zu verstehen, welcke bei beliebigen, durcli die ander- weitigen Bedingungen des Systems zugelassenen, kleinen Ver- scMebungen der Punkte m-Q, eintreten. Wir haben in den friiheren Deductionengesehen, dass eine Vermehrung der lebendigen Kraft, also auch ein Uebergang aus Ruke in Bewegung, nur durcli einen Verbrauch von Spannkraft erzeugt werden kann ; die letz- ten Gleickungen sagen dem entsprecliend aus, dass unter sol- chen Bedingungen, wo durch keine einzige der moglichen Be- wegungsrichtungen in dem ersten Augenblicke Spannkraft ver- brauckt wird, das System, wenn es einmal in Rulie ist, aucli in Rulie bleiben muss.

Dass aus den bingestellten Gleichungen sammtliche Gesetze der Statik hergeleitet werden konnen, ist bekannt. Die fiir die Natur der wirkenden Krafte wichtigste Folgerung ist diese: Denken wir uns statt der beliebigen kleinen Verschiebungen der Puncte m solche gesetzt, wie sie stattfinden konnten, wenn das System in sich fest verbunden ware, so dass in Gleichung 7 alle ch\% = 0, so folgt einzeln Dann mtissen also sowohl die ausseren, wie die inneren Krafte ftir sich der Gleichgewichtsbedingung genttgen. Wird demnach ein beliebiges System von Naturkorpern durch aussere [19] Krafte in eine bestimmte Gleichgewichtslage gebracht, so wird das Gleichgewiclit nicht aufgelioben, 1) wenn wir die einzelnen Punkte des Systems in ihrer jetzigen Lage unter sich fest ver- bunden denken, und 2) Avenn wir dann die Krafte wegnehmen, weiche dieselben gegen einander austlben. Daraus folgt nnn aber weiter: Werden die Krafte, weiche zwei Massenpunkte auf- eiuander austlben, durch zwei au dieselben angebrachte aussere

Kriifte in Gieiciigewiclit gesetzt, so mitsseii sicli diese audi cias Gleicligewicht lialten, wemi statt der Krafte der Pimkte gcgeneinander eine feste Yerbindimg derselben substitiiirt wird. Krafte, welclie zwei Puiikte ciner festeii geraden Linie aiigreifen, halten sicli aber iiur im Gleicligewicht, werni sie in dieser Linie selbst liegen, gleich luid entgegengesetzt gericlitet sind. Es folgt also aucli fiir die Krafte der Pnnkte selbst, welclie den ausseren gleich und entgegengesetzt sind, dass dieselben in der Richtnng der verbindenden Linie liegen, also auziehende oder abstossende sein miissen.

Wir konnen die aufgestellten Satze folgendermaassen zn- sammenfassen : 1 ) So oft Naturkorper vermoge anziehender oder abstossen- der Krafte, welclie von der Zeit und Geschwindigkeit iinabhangig sind, auf einander einwirken, mnss die Snmme ihrer lebendigen nnd Spannknifte eine constante sein; das Maximum der zu ge- winnenden Arbeitsgrosse also ein bestimmtes, endliches. 2) Kommen dagegen in den Naturk5rpern audi Krafte vor, welche von der Zeit und Geschwindigkeit abhangen, oder nach anderen Richtungen wirken als der Verbindungslinie je zweier wirksamer materieller Punkte, also z. B. rotirende, so wtirden Zusammenstellungen soldier Korper [20] moglich sein, in denen entweder in das Unendliche Kraft verloren gelit, oder gewonnen wird. 4)